Home » Pressure Elements » PEM: Beschreibung des Verfahrens

PEM: Beschreibung des Verfahrens

Die Bestimmung der Flächenpressungsverteilung zwischen gekrümmten Körpern mit Hilfe der Hertz’schen Formeln läßt wesentliche Einflußgrößen für die Belastung der beteiligten Körper unberücksichtigt. So werden sowohl in der Wälzlagertechnik als auch bei Rad-Schiene-Paarungen die Parameter Profilform, Schiefstellungs- oder Sturzwinkel, außermittiger Lastangriff und vom Halbraum abweichende Bauteilgeometrien in der Dimensionierung nicht erfaßt.

Mit PEM stellen wir ein numerisches Verfahren vor, das – unter Berücksichtigung der genannten Einflußgrößen – die Berechnung der räumlichen Lastverteilung zwischen beliebig gekrümmten Körpern mit beliebigen Oberflächengeometrien erlaubt.

Mit PEM kann das Kontaktverhalten zwischen beliebig gekrümmten Körpern numerisch berechnet werden. Das Verfahren ist nicht von einschränkenden Annahmen abhängig, wie sie z.B. bei der Anwendung der Hertz’schen Formeln gemacht werden müssen.

PEM wurde von uns als Software-Programm realisiert, um Kontaktberechnungen mit dem zugrundeliegenden Verfahren schnell und effektiv durchführen zu können.

Klassifizierung des Kontaktproblems

Bei der Behandlung des Kontaktproblems allseitig gekrümmter elastischer Körper kann der Kontakt zwischen Körpern mit konformen Oberflächen unterschieden werden vom Kontakt zwischen Körpern mit kontraformen Oberflächen.

Konforme Oberflächenpaarungen
Konforme Oberflächenpaarungen

Besitzen die sich berührenden Körper konforme Oberflächen, so bildet sich unter Belastung eine Kontaktfläche aus, deren Abmessungen in der Größenordnung der beteiligten Körper liegen. Bereits kleine Belastungen erzeugen große Kontaktflächen. Die Kontaktfläche kann entsprechend der Oberflächenform der Körper stark gekrümmt sein. In der Kontaktfläche können Kräfte und Momente in allen drei Koordinatenrichtungen übertragen werden.

KontaktKontraform
Kontraforme Oberflächenpaarungen

Besitzen die sich berührenden Körper kontraforme Oberflächen, so stellt sich unter Belastung eine Kontaktfläche ein, die wesentlich kleiner ist als die beteiligten Körper. Die Kontaktfläche kann dabei als eben betrachtet werden. Unter Vernachlässigung der Reibung werden Kräfte in der Kontaktfläche nur in normaler Richtung übertragen.

Bisherige Lösungsansätze

Das Standardverfahren zur Berechnung des Kontaktverhaltens zwischen gekrümmten Körpern ist die Anwendung der Hertz’schen Formeln.

Gemäß obiger Klassifizierung ist die Anwendbarkeit der Hertz’schen Formeln auf den Fall „Kontraformer Kontakt“ beschränkt. Darüber hinaus geht der Hertz’sche Lösungsansatz von einer bekannten Form der Kontaktfläche (elliptisch im Fall der sog. Punktberührung, rechteckig im Fall der sog. Linienberührung) aus. Somit ist die Geometrie der Körper auf einfache Formen (Ellipsoid bzw. Zylinder) beschränkt. Komplexer profilierte Körper sind damit nicht berechenbar.

Der Lastangriff wird von Hertz als zentrisch vorausgesetzt. Ein exzentrischer Lastangriff oder eine Schiefstellung der Körper zueinander kann so nicht berechnet werden.

Hertz'sche Punkt- und Linienberührung
Hertz’sche Punkt- und Linienberührung

Hertz’sche Formeln

Der Vollständigkeit halber seien hier die bekannten Hertz’schen Formeln noch einmal dargestellt:

Punktberührung:

Halbachse a der Kontaktfläche: press_formula1
Halbachse b der Kontaktfläche: press_formula2
Max. Flächenpressung p0: press_formula3
globale Annäherung: press_formula4

 

Linienberührung:

Halbe Breite b der Kontaktfläche: press_formula5
Max. Flächenpressung p0: press_formula6
mit: press_formula7

Java-Applets zur direkten Berechnung der Hertz’schen Pressung finden Sie hier.

Voraussetzungen

Das PEM-Berechungsverfahren geht nicht – wie die bisherigen Lösungsansätze – von einschränkenden Voraussetzungen hinsichtlich der Geometrie und Symmetrie der sich berührenden Körper, der Form der Kontaktfläche und des Verlaufs der Pressungsverteilung aus. Es werden lediglich folgende Annahmen getroffen:

  • Die Werkstoffe beider Körper sind linear-elastisch, homogen und isotrop
  • Es treten nur kleine Verformungen auf
  • In der Kontaktfläche tritt keine Reibung auf
  • Beide Körper können als elastische Halbräume betrachtet werden

In einer Erweiterung des PEM-Verfahrens kann sogar auf die letztgenannte Annahme zugunsten realer Bauteil-Elastizitäten verzichtet werden.

Beschreibung der Körpergeometrien

Kontaktbereich1
Koordinatensystem zur Beschreibung der Oberflächenform

Zur Beschreibung der Oberflächenform zweier sich berührender, beliebig gekrümmter Körper dient ein kartesisches Koordinatensystem (x,y,z), dessen Achsen so gewählt werden, daß die sich ausbildende Kontaktfläche in der x-y-Ebene liegt und die Belastung der Körper parallel zur z-Achse erfolgt.

Kontaktbereich2
Wahl des angenommenen Kontaktgebiets

Die Flächenpressungsverteilung, die Kontaktfläche und die Annäherung der Körper sind unbekannt. Die numerische Ermittlung dieser unbekannten Größen geschieht nun in der Weise, daß das Kontaktgebiet in eine endliche Anzahl endlich großer Kontaktelemente eingeteilt wird. Über der Fläche eines solchen Kontaktelementes wird dabei die Flächenpressung als konstant angesetzt.

Dazu wird zunächst ein Kontaktgebiet angenommen, das größer als das tatsächliche Kontaktgebiet sein muß.

Kontaktgebiet
Einteilung des angenommenen Kontaktgebiets in Kontaktelemente

Die Form dieses angenommenen Kontaktgebietes und seine Diskretisierung in Kontaktelemente ist frei wählbar. Es ist jedoch günstig, ein rechteckiges Kontaktgebiet, eingeteilt in gleich große rechteckige Kontaktelemente, zu verwenden.

Berechnung

Das PEM-Verfahren benutzt im Kern das von Boussinesq beschriebene Kraft-Verformungs-Verhalten des elastischen Halbraums. Durch Aufstellen einer Nachgiebigkeitsmatrix wird das Kontaktproblem in die Form eines linearen Gleichungssystems überführt und gelöst.

Dabei wird – unter der Annahme, daß die Flächenpressung in einem Kontaktelement jeweils konstant ist – eine Matrix von Einflußzahlen fij aufgestellt; jede Einflußzahl fij beschreibt darin die Verformung in der Mitte des Kontaktelementes i aufgrund einer Einheitspressung im Kontaktelement j.

KontaktFedergesetz
Nichtlineares Federgesetz für die Kontaktstelle

Die Lösung des Gleichungssystems erfolgt iterativ, um einerseits eine Anpassung der Parameter an ein sich ständig verbesserndes nichtlineares Federgesetz der Kontaktstelle zu erzielen und um andererseits die Größe und Form des tatsächlichen Kontaktgebiets innerhalb des zunächst angenommenen Kontaktgebiets zu bestimmen.

Ergebnisse einer PEM-Berechnung sind:

  • die globale Annäherung der Körper
  • die Größe der Kontaktfläche
  • die Parameter des nichtlinearen Federgesetzes der Kontaktstelle
  • die Pressungswerte in jedem einzelnen Kontaktelement
  • der Schwerpunkt der resultierenden Lastverteilung (Exzentrizität)
  • bei konformem Kontakt: die Rückstellkräfte in x- und y-Richtung

Verifizierung

Zur Verifizierung des PEM-Verfahrens kann eine Vergleichsrechnung mit den bekannten und gesicherten Lösungen entsprechend der Hertz’schen Theorie für die Punktberührung dienen.

Naturgemäß verzichtet diese Vergleichsrechnung auf die erweiterten Berechnungsmöglichkeiten des PEM-Verfahrens (exzentrischer Lastangriff, komplexere Körpergeometrien etc.), es soll hier aber zunächst nur ein Eindruck von der Korrektheit der Ergebnisse vermittelt werden.

Als Beispiel wurde der Kontakt zweier gleich großer Kugeln aus Stahl mit dem Radius r = 50 mm gewählt. Die Berechnung wurde einerseits nach Hertz und andererseits mit PEM, jeweils für eine Belastung von F = 50 kN, durchgeführt. In PEM wurde das Kontaktgebiet mit einer Länge und Breite von je 6 mm, eingeteilt in 50 x 50 Elemente, angegeben.

Das folgende Bild zeigt den räumlichen Verlauf der Flächenpressung über der erwartungsgemäß kreisförmigen Kontaktfläche, berechnet von PEM.
Flächenpressungsverteilung
Räumliche Flächenpressungsverteilung

Auch der direkte Vergleich der Flächenpressungswerte durch eine Ebene pmax und die Gegenüberstellung von Hertz’scher und PEM-Kontaktfläche zeigt die gute Übereinstimmung der Ergebnisse.
Flächenpressungsverteilung
Vergleich der Flächenpressungsverläufe und der Kontaktflächen

In der folgenden Tabelle sind ergänzend die charakteristischen Zahlenwerte, die mit den beiden Verfahren errechnet wurden, gegenübergestellt. Auch hier zeigt sich die sehr gute Übereinstimmung.

Hertz PEM
max. Pressung: 5906.9 MPa 5904.0 MPa
Annäherung: 0.16166 mm 0.16167 mm
Halbachse a: 2.010 mm 2.000 mm
Halbachse b: 2.010 mm 2.000 mm
Kontaktfläche: 12.697 mm2 12.913 mm2

Literatur

Dr.-Ing. André Becker:
Numerische Berechnung des Kontaktes beliebig gekrümmter Körper unter besonderer Berücksichtigung der Einflußgrößen des Rad-Schiene-Systems
Schriftenreihe des Instituts für Konstruktionstechnik, Ruhr-Universität Bochum,
Bd. 90.3, Bochum 1990. ISBN 3-89194-089-0

Dr.-Ing. Thomas Benda:
Theoretische und experimentelle Untersuchungen an hochbelastbaren Zahnriemen unter instationärer Betriebsweise
Schriftenreihe des Instituts für Konstruktionstechnik, Ruhr-Universität Bochum,
Bd. 93.7, Bochum 1993. ISBN 3-89194-110-2

Share on FacebookTweet about this on TwitterShare on LinkedInShare on Google+Print this pageEmail this to someone